Polynôme du second degré : graphique et signe du trinôme

Q: Comment lire le signe d'un trinôme sur sa parabole ?

Le signe de f(x) est la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses : positif au-dessus, négatif en dessous, nul sur l'axe. Repère d'abord les racines, ce sont les points où la courbe coupe l'axe, puis applique la règle unique : le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines, et du signe opposé entre elles.

Q: Le second degré tombe-t-il à l'épreuve anticipée de maths ?

Oui. Le chapitre figure en entier au programme de Première, et la liste des automatismes de l'épreuve mentionne le signe d'une expression factorisée du second degré ainsi que la lecture graphique du signe d'une fonction. C'est exactement l'aspect traité sur cette page.

Q: Faut-il toujours calculer le discriminant ?

Non. Le discriminant marche toujours, mais il existe d'autres façons de trouver les racines, que cette page n'aborde pas : quand le trinôme se factorise à vue, les racines se lisent directement sur la forme factorisée. Le discriminant reste l'outil des cas où rien ne se voit, et il sert alors à compter les racines avant de les calculer.

Le chapitre en bref

Voici un aperçu complet du chapitre Second degré. Dans cette page, on ne discute pas de tout. On va se concentrer sur le calcul des racines par le discriminant et surtout la représentation graphique et les propriétés qu'on peut en extraire, notamment le tableau de signes.

Équations du second degré développé ci-dessous
Résoudre ax² + bx + c = 0, le discriminant, le nombre de solutions.
Représentation graphique développé ci-dessous
L'allure de la parabole, le sommet, l'axe de symétrie, les racines, et le signe du trinôme lu sur la courbe.
Sens de variation : où la fonction descend, où elle remonte, son minimum ou son maximum.
Forme factorisée : écrire le trinôme sous forme de produit, et les autres façons d'en trouver les racines.
Forme canonique : a(x − α)² + β, le sommet lu directement dans l'expression.

Les cinq aspects sont traités dans la fiche du chapitre, dans l'app, avec toutes les questions d'entraînement et d'approfondissement corrigées pour les mettre en pratique.

Discriminant et calcul des racines

Les racines d'un trinôme sont les solutions de ax² + bx + c = 0. Tout part d'un seul nombre, le discriminant : Δ = b² − 4ac.

Δ > 0 deux racines, qu'on note x₁ et x₂ : $x = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a}$
Δ = 0 une racine double : $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$
Δ < 0 aucune racine

Un exemple. Pour x² − 4x + 3, on a a = 1, b = −4 et c = 3, donc Δ = (−4)² − 4 × 1 × 3 = 16 − 12 = 4. Il est positif, il y a donc deux racines, et $\sqrt{Δ} = 2$ les donne : x₁ = (4 − 2)/2 = 1 et x₂ = (4 + 2)/2 = 3.

La parabole, en trois caractéristiques

Une fonction du second degré s'écrit f(x) = ax² + bx + c, avec a ≠ 0. Sa courbe est une parabole, et trois caractéristiques suffisent à la décrire.

Le sens d'ouverture C'est le signe de a, et rien d'autre : vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0.
Le sommet Le point extrême de la courbe, d'abscisse $α = \frac{- b}{2 a}$ . Son ordonnée, c'est $f (α)$ .
Les racines Les points où la courbe coupe l'axe des abscisses.

Parabole ouverte vers le haut. Elle coupe l'axe des abscisses en deux racines x1 et x2, son sommet S est son point le plus bas, et la verticale passant par S est son axe de symétrie. — Quand a > 0, la parabole s'ouvre vers le haut et son sommet est le point le plus bas de la courbe.

Le réflexe : la parabole est symétrique par rapport à la verticale $x = \frac{- b}{2 a}$ . Si tu connais une racine et le sommet, la seconde racine se déduit sans calcul.

Parabole ouverte vers le bas. Elle coupe l'axe des abscisses en deux racines x1 et x2, son sommet S est son point le plus haut, et la verticale passant par S est son axe de symétrie. — Quand a < 0, tout est retourné : le sommet devient le point le plus haut.

Sur le dessin, le discriminant prend tout son sens : il compte combien de fois la courbe rencontre l'axe des abscisses. Deux fois si Δ > 0, une seule si Δ = 0, jamais si Δ < 0.

Lire le signe sur le graphe

Le signe de f(x), c'est la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses. Quand tu visualises la courbe, le tableau de signes devient évident.

Les six cas tiennent sur un seul dessin

Six paraboles croisant les trois cas de racines (deux racines, une racine double, aucune racine) et les deux sens d'ouverture, chacune surmontant une barre de signe alignée sur ses racines. — Trois configurations de racines, deux sens d'ouverture, et sous chaque parabole sa barre de signe.

Δ > 0 La courbe traverse l'axe deux fois : le signe change entre les racines.
Δ = 0 Elle effleure l'axe en un point : le trinôme s'annule sans changer de signe.
Δ < 0 Elle ne rencontre jamais l'axe : le signe de a règne sur ℝ tout entier.

Et d'une ligne à l'autre, quand le signe de a change, il suffit de tout retourner.

Le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines.

Elle couvre les six cas sans exception, parce que « l'extérieur des racines » se lit sur le dessin même quand il n'y a rien à l'intérieur : sans racine, ℝ tout entier est à l'extérieur, et avec une racine double, tout l'est sauf ce point.

Un exemple, de la parabole au tableau de signes

Résoudre −x² + 4x − 3 > 0. Le trinôme est l'opposé de x² − 4x + 3, dont on a calculé les racines plus haut : 1 et 3. Ici a = −1 < 0, donc la parabole s'ouvre vers le bas et le trinôme est positif entre les racines. L'ensemble des solutions est ]1 ; 3[.

Parabole ouverte vers le bas, de racines 1 et 3. La courbe est au-dessus de l'axe des abscisses uniquement entre 1 et 3, intervalle surligné sur l'axe avec des bornes ouvertes, et la barre de signe sous la figure est négative, positive, puis négative. — La barre de signe sous la courbe *est* déjà le tableau de signes.

Pour obtenir le tableau de signes, il ne reste qu'à le recopier dans la forme attendue au devoir : une ligne x de −∞ à +∞ avec les racines dans l'ordre, une ligne f(x) avec un 0 sous chaque racine, puis les signes dans les intervalles.

Tableau de signes de f(x) = −x² + 4x − 3, de racines 1 et 3, avec a négatif.
x	−∞		1		3		+∞
f(x)		−	0	+	0	−

Le dessin et le tableau ne sont pas deux méthodes concurrentes : pouvoir se représenter le dessin est souvent le meilleur moyen d'obtenir le signe sans se tromper.

Le chapitre Second degré est gratuit dans l'app : la fiche complète et les questions corrigées, sans compte à créer.

Gratuit au téléchargement · iPhone, iPad et Mac · iOS 17+

Les erreurs classiques

Cinq erreurs reviennent, et elles sont toutes des variantes de la même : avoir appris la règle sans le dessin qui va avec.

1. Inverser « entre les racines » et « à l'extérieur »

De très loin la plus fréquente, et elle coûte la totalité des points d'une inéquation. Le remède n'est pas de mieux mémoriser, c'est de dessiner. Prends x² − x − 6. Ses racines sont −2 et 3, donc 0 est bien entre elles : en calculant f(0) = −6, tu vois que le trinôme y est négatif, et l'affaire est réglée.

Le réflexe : quand tu doutes du sens, prends une valeur simple, souvent x = 0, et calcule. Le signe que tu obtiens te dit de quel côté tu te trouves. Une seconde de calcul contre une question entière.

2. Oublier que a < 0 retourne tout le tableau

Beaucoup d'élèves apprennent la règle dans le cas a > 0, celui de tous les exemples du cours, et l'appliquent telle quelle quand a est négatif.

Le réflexe : regarde le signe de a avant de chercher les racines, pas après. C'est lui qui décide de l'orientation de tout le résultat.

3. Croire que Δ < 0 empêche de conclure

« Pas de solution » n'est pas « on ne peut rien dire ». C'est même la situation la plus confortable du chapitre : sans racine, la courbe ne coupe jamais l'axe, donc elle reste entièrement d'un côté, et ce côté est donné par le signe de a.

4. Faire changer le signe en une racine double

Quand Δ = 0, le sommet est posé sur l'axe : la courbe touche et repart du même côté. La distinction compte selon l'inégalité demandée : f(x) ≥ 0 est vraie sur ℝ tout entier, alors que f(x) > 0 est vraie sur ℝ privé de la racine.

5. Perdre le signe moins de α = −b/(2a)

Sur f(x) = −4x² − 8x + 1, on a b = −8 et a = −4, donc α = −(−8)/(2 × (−4)) = 8/(−8) = −1, et non 2 ni −2. Deux signes négatifs se croisent dans cette formule, et c'est suffisant pour la rater en allant vite.

Le réflexe : quand le trinôme a deux racines, le sommet tombe exactement au milieu. Une vérification gratuite, et elle attrape presque toutes les erreurs de signe.

Teste-toi

Six questions, de la lecture directe au cas qui piège tout le monde. Cherche la réponse avant de l'ouvrir : c'est l'effort de rappel qui fait tenir la règle, pas la relecture.

Question 1

Combien de points d'intersection la parabole d'équation y = x² − 6x + 11 a-t-elle avec l'axe des abscisses ?

Deux
Un seul
Aucun
Une infinité

Voir la réponse et la correction

Réponse : C, aucun point d'intersection.

On calcule le discriminant : Δ = (−6)² − 4 × 1 × 11 = 36 − 44 = −8. Il est strictement négatif, la courbe ne rencontre donc jamais l'axe. Et comme a = 1 > 0, elle reste entièrement au-dessus : le trinôme est strictement positif sur ℝ.

Parabole ouverte vers le haut, de sommet (3 ; 2), entièrement au-dessus de l'axe des abscisses : elle ne le rencontre jamais, et sa barre de signe est positive partout.

L'erreur classique ici : s'arrêter à « pas de solution » comme si l'exercice était sans réponse. Δ < 0 est au contraire l'information la plus forte du chapitre, elle donne le signe d'un coup.

Question 2

Quel est l'axe de symétrie de la parabole d'équation y = −2x² + 12x − 5 ?

x = −3
x = 3
y = 3
x = 6

Voir la réponse et la correction

Réponse : B, la droite d'équation x = 3.

L'axe de symétrie est la verticale qui passe par le sommet, d'abscisse α = −b/(2a). Ici a = −2 et b = 12, donc α = −12/(2 × (−2)) = −12/(−4) = 3.

Parabole ouverte vers le bas, de sommet (3 ; 13). La droite verticale d'équation x = 3 passe par le sommet, et les deux racines sont à égale distance de part et d'autre.

L'erreur classique ici : la réponse A, qui oublie que a est négatif et que ce signe retourne le quotient. Quant à la réponse C, un axe de symétrie vertical a une équation en x, jamais en y.

Question 3

Quel est le signe de f(x) = x² − 7x + 12 selon les intervalles déterminés par ses racines ?

f(x) < 0 pour x < 3 et x > 4, f(x) > 0 pour 3 < x < 4
f(x) > 0 pour tout x
f(x) < 0 pour tout x
f(x) > 0 pour x < 3 et x > 4, f(x) < 0 pour 3 < x < 4

Voir la réponse et la correction

Réponse : D.

Δ = (−7)² − 4 × 1 × 12 = 49 − 48 = 1, donc les racines sont (7 − 1)/2 = 3 et (7 + 1)/2 = 4. Comme a = 1 > 0, la parabole s'ouvre vers le haut, donc elle plonge sous l'axe entre 3 et 4 et reste au-dessus ailleurs.

Parabole ouverte vers le haut, de racines 3 et 4. Elle passe sous l'axe des abscisses entre 3 et 4, et reste au-dessus ailleurs.

L'erreur classique ici : la réponse A, qui inverse l'intérieur et l'extérieur. Un dessin au brouillon la rend impossible, et tester x = 0 aussi : f(0) = 12 > 0, or 0 est à l'extérieur des racines.

Question 4

Pour quelles valeurs de x a-t-on −x² + 6x − 8 > 0 ?

2 < x < 4
x > 4
x < 2 ou x > 4
x < 2

Voir la réponse et la correction

Réponse : A, l'intervalle ]2 ; 4[.

Pas besoin de réarranger le trinôme, on le résout tel quel : a = −1, b = 6 et c = −8, donc Δ = 6² − 4 × (−1) × (−8) = 36 − 32 = 4, dont la racine carrée vaut 2. Les racines sont (−6 + 2)/(2 × (−1)) = 2 et (−6 − 2)/(2 × (−1)) = 4. Comme a = −1 < 0, la parabole s'ouvre vers le bas : elle passe au-dessus de l'axe entre les racines, et nulle part ailleurs.

Parabole ouverte vers le bas, de racines 2 et 4. La courbe est au-dessus de l'axe uniquement entre 2 et 4, intervalle surligné sur l'axe avec des bornes ouvertes.

L'erreur classique ici : la réponse C, qui applique la règle apprise dans le cas a > 0 sans voir que a est négatif. Le signe de a se regarde en premier, avant même les racines.

Question 5

Résoudre l'inéquation 3x² − 5x − 2 ≤ 0.

]−∞ ; −1/3] ∪ [2 ; +∞[
[−2 ; 1/3]
[−1/3 ; 2]
]−1/3 ; 2[

Voir la réponse et la correction

Réponse : C, l'intervalle fermé [−1/3 ; 2].

Δ = (−5)² − 4 × 3 × (−2) = 25 + 24 = 49, dont la racine carrée vaut 7. Les racines sont (5 − 7)/6 = −1/3 et (5 + 7)/6 = 2. Comme a = 3 > 0, le trinôme est négatif entre les racines, et l'inégalité étant large, les racines elles-mêmes sont solutions.

Parabole ouverte vers le haut, de racines −1/3 et 2. La courbe est sous l'axe entre ces deux valeurs, intervalle surligné sur l'axe avec des bornes fermées, marquées par des points pleins.

L'erreur classique ici : la réponse D, juste sur l'intervalle mais fausse sur les bornes. Une inégalité large inclut les points où le trinôme s'annule ; une inégalité stricte les exclut.

Question 6

Pour quelles valeurs de x a-t-on 9x² − 12x + 4 > 0 ?

Pour tout x réel
Pour tout x réel sauf 2/3
Pour x > 2/3 uniquement
Pour aucune valeur de x

Voir la réponse et la correction

Réponse : B, tout ℝ privé de 2/3.

Δ = (−12)² − 4 × 9 × 4 = 144 − 144 = 0 : la racine est double, elle vaut −b/(2a) = 12/18 = 2/3, et la parabole y touche l'axe sans le traverser. Avec a = 9 > 0, le trinôme est donc strictement positif partout, sauf en 2/3 où il vaut exactement 0. Rien d'étonnant : 9x² − 12x + 4 = (3x − 2)², un carré.

Parabole ouverte vers le haut dont le sommet est posé sur l'axe des abscisses en 2/3 : elle touche l'axe sans le traverser. L'axe est surligné partout sauf en ce point.

L'erreur classique ici : la réponse A, qui oublie le point d'annulation. Un carré est toujours positif ou nul, et c'est le « ou nul » qui départage une inégalité stricte d'une inégalité large.

Extrait de fiche

Les formules de cet aspect, telles qu'elles sont dans la fiche de révision du chapitre.

Racines : Δ=b2−4ac, puis
- $Δ > 0$ : deux racines, $x = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a}$
- $Δ = 0$ : une racine double, $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$
- $Δ < 0$ : aucune racine dans $ℝ$
Signe : $f (x)$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, du signe opposé entre les racines.
Forme factorisée :
- $Δ > 0$ : $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$
- $Δ = 0$ : $f (x) = a {(x - x_{0})}^{2}$
- $Δ < 0$ : pas de factorisation dans $ℝ$

Questions fréquentes

Comment lire le signe d'un trinôme sur sa parabole ?

Le signe de f(x) est la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses : positif au-dessus, négatif en dessous, nul sur l'axe. Repère d'abord les racines, ce sont les points où la courbe coupe l'axe, puis applique la règle unique : le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines, et du signe opposé entre elles.

Le second degré tombe-t-il à l'épreuve anticipée de maths ?

Oui. Le chapitre figure en entier au programme de Première, et la liste des automatismes de l'épreuve mentionne le signe d'une expression factorisée du second degré ainsi que la lecture graphique du signe d'une fonction. C'est exactement l'aspect traité sur cette page. En savoir plus →

Faut-il toujours calculer le discriminant ?

Non. Le discriminant marche toujours, mais il existe d'autres façons de trouver les racines, que cette page n'aborde pas : quand le trinôme se factorise à vue, les racines se lisent directement sur la forme factorisée. Le discriminant reste l'outil des cas où rien ne se voit, et il sert alors à compter les racines avant de les calculer.

Le chapitre t'attend en entier dans l'app : la fiche de révision complète, toutes les questions d'entraînement et d'approfondissement corrigées qui s'adaptent à ton niveau, et les annales du bac. Le second degré fait partie des 10 chapitres gratuits.

Gratuit au téléchargement · iPhone, iPad et Mac · iOS 17+

Polynôme du second degré : représentation graphique et signe du trinôme

Le chapitre en bref

Discriminant et calcul des racines

La parabole, en trois caractéristiques

Lire le signe sur le graphe

Les six cas tiennent sur un seul dessin

Un exemple, de la parabole au tableau de signes

Les erreurs classiques

1. Inverser « entre les racines » et « à l'extérieur »

2. Oublier que a < 0 retourne tout le tableau

3. Croire que Δ < 0 empêche de conclure

4. Faire changer le signe en une racine double

5. Perdre le signe moins de α = −b/(2a)

Teste-toi

Extrait de fiche

Questions fréquentes

Comment lire le signe d'un trinôme sur sa parabole ?

Le second degré tombe-t-il à l'épreuve anticipée de maths ?

Faut-il toujours calculer le discriminant ?